강하 액막 유동 (Flow of a Falling Film)

경사 평판 위를 중력에 의해 흘러내리는 층류 액막의 쉘 운동량 수지(Shell Momentum Balance) 및 포물선 속도 분포 $v_z(x)$ 유도 강의노트와 직관적 대화형 시뮬레이터입니다.

1. Falling Film Animation (물리적 상황 세팅)

재생 제어 가능 (자동 루프)

▲ 유체 유입 및 좌표계 ($x$: 계면에서 벽면 방향 깊이, $z$: 흐름 방향, $\delta$: 액막 두께)

2. 수식 유도 강의노트 (Step-by-Step)

(1) 물리적 상황 및 좌표계 설정

수직선과 각도 $\beta$를 이루는 경사 평판(폭 $W$, 길이 $L$) 위로 두께 $\delta$인 유체가 층류(Laminar)로 정상상태 흘러내립니다.

$x = 0$ (자유 계면, Free Surface): 공기와 접촉하여 마찰이 없음 → $\tau_{xz} = 0$
$x = \delta$ (고체 벽면, Solid Wall): 유체가 벽에 달라붙어 움직이지 않음 → 점착 조건 (No-slip), $v_z = 0$
$z$축: 유체가 흘러내리는 주 흐름 방향 (흐름을 추진하는 중력 가속도 성분: $g \cos\beta$)

(2) 미소 쉘 운동량 수지식 (Shell Momentum Balance)

두께 $\Delta x$, 폭 $W$, 길이 $L$인 얇은 유체 쉘에 대해 $z$ 방향 운동량 수지를 세우면 다음과 같습니다.

$$\underbrace{(LW \cdot \tau_{xz})|_{x}}_{\text{전단응력 유입}} - \underbrace{(LW \cdot \tau_{xz})|_{x+\Delta x}}_{\text{전단응력 유출}} + \underbrace{(L W \Delta x \cdot \rho g \cos\beta)}_{\text{중력에 의한 운동량 생성}} = 0$$

양변을 $LW \Delta x$로 나누고 $\Delta x \to 0$ 극한을 취하면 다음 미분방정식을 얻습니다.

$$\frac{d\tau_{xz}}{dx} = \rho g \cos\beta$$

(3) 전단응력 분포 $\tau_{xz}(x)$ 도출

자유 계면(공기와의 마찰 무시) 경계조건 [BC 1: $x = 0$에서 $\tau_{xz} = 0$]을 대입하여 적분합니다.

$$\tau_{xz}(x) = \rho g \cos\beta \cdot x$$

• 전단응력은 표면($x=0$)에서 0이고, 아래로 갈수록 위에 누적된 유체 무게로 선형 증가하여 벽면($x=\delta$)에서 최대치 $\tau_{\text{wall}} = \rho g \cos\beta \cdot \delta$에 도달합니다.

(4) 뉴턴 점성법칙 대입 및 포물선 속도 분포 $v_z(x)$ 완성

뉴턴의 점성법칙 $\tau_{xz} = -\mu \frac{dv_z}{dx}$를 대입합니다.

$$-\mu \frac{dv_z}{dx} = \rho g \cos\beta \cdot x \implies \frac{dv_z}{dx} = -\frac{\rho g \cos\beta}{\mu} x$$

벽면 점착 경계조건 [BC 2: $x = \delta$에서 $v_z = 0$ (No-slip)]을 사용하여 적분하면, 최종 포물선 속도 분포가 도출됩니다!

$$v_z(x) = \frac{\rho g \cos\beta \, \delta^2}{2\mu} \left[ 1 - \left(\frac{x}{\delta}\right)^2 \right]$$

(5) 평균 유속 $\langle v_z \rangle$, 부피 유량 $q$, 액막 두께 $\delta$

평균 유속 (Average Velocity):

$$\langle v_z \rangle = \frac{1}{\delta}\int_0^\delta v_z(x)\,dx = \frac{2}{3} v_{z,\max}$$

Nusselt 액막 두께 (Film Thickness):

$$\delta = \left( \frac{3 \mu q}{\rho g \cos\beta} \right)^{1/3}$$

필독 관찰 가이드

3. 물리적 현상을 이해하기 위해 무엇을 봐야 하는가?

시뮬레이터를 조작할 때 아래 3가지 핵심 관찰 포인트를 확인하면 수식이 의미하는 물리 현상을 직관적으로 체득할 수 있습니다.

1 포물선 형성 (벽면 No-slip 점착)

[가상 염료 주입] 버튼을 누르면 수직 일직선 염료가 흘러갑니다. 벽면($x=\delta$)에서는 유속이 0이라 염료가 벽에 고정되고, 표면($x=0$)만 최대 속도로 치고 나가며 자연스럽게 수식 (4)의 포물선 곡선으로 변형됩니다.

2 경사각 β에 따른 중력 분해와 감속

경사각 β를 0°에서 75°로 눕혀보세요. 좌측 거시 장치에서 판이 실제로 기울어지며 흐름 추진력 $g\cos\beta$가 약해집니다. 유량이 일정할 때 유속은 감소하고, 액막 두께 $\delta \propto (\cos\beta)^{-1/3}$는 50% 이상 두꺼워집니다.

3 점도 μ에 따른 액막 팽창 & 전단응력

물(1 cP)에서 엔진오일(200 cP)로 프리셋을 바꾸면 점성 저항으로 유속은 1/6로 급감하지만, 유체가 빠져나가지 못해 액막 두께 $\delta$가 6배 이상 팽창하며 벽면 전단응력 $\tau_{\text{wall}}$도 크게 상승합니다.

대화형 시뮬레이터 (거시 장치 경사 × 미시 단면 유동)

속도:

원클릭 유체 프리셋 (점도 μ 비교):

경사각 $\beta$ (0° 수직 → 75° 완만): 25°

단위 폭당 유량 $q$ ($=Q/W$): 0.25 cm²/s

점도 $\mu$ (Viscosity): 6.0 cP

밀도 $\rho$ (Density): 1126 kg/m³

깊이 인스펙터 ($x/\delta$ 위치): $x/\delta = $ 0.00

실제 위치 $x$: 0.00 mm

국소 속도 $v_z(x)$: 10.55 cm/s

전단응력 $\tau_{xz}(x)$: 0.00 Pa

• $x = 0$ (표면): 유속 $v$ 최대, 전단응력 $\tau = 0$

• $x = \delta$ (벽면): 유속 $v = 0$ (점착), 전단응력 $\tau$ 최대

액막 두께 $\delta$:
0.36 mm

표면 유속 $v_{z,\max}$:
10.55 cm/s

평균 유속 $\langle v_z \rangle$:
7.03 cm/s

흐름 영역 ($\text{Re}$):
🟢 층류 (Re 18.8)

거시 장치 뷰 (경사각 β & 중력 분해) 미시 단면 유속 뷰 (속도 포물선 & 염료 타임라인)

• 좌측: 실험 장치 전체 기울기 ($g\cos\beta$ 추진 성분 vs $g\sin\beta$ 정수압 성분) • 우측: 염료선 $z = v_z(x) \cdot t$가 수식 (4) 포물선을 직접 시각화